菏泽中考数学试卷答案解析及word文字版下载(难度系数点评)
2017年菏泽中考数学试卷答案解析及word文字版下载(难度系数点评)
一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项A、B、C、D中,只有一个选项是正确的,请把正确的选项涂在答题卡相应位置)
1.下列各对数是互为倒数的是( )
A.4和?4B.?3和C.?2和D.0和0
2.以下微信图标不是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
3.如图所示,该几何体的俯视图是( )
A.B.C.D.
4.当1<a<2时,代数式|a?2|+|1?a|的值是( )
A.?1B.1C.3D.?3
5.如图,A,B的坐标为(2,0),(0,1),若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为( )
A.2B.3C.4D.5
6.在▱ABCD中,AB=3,BC=4,当▱ABCD的面积最大时,下列结论正确的有( )
①AC=5;②∠A+∠C=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
7.如图,△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形,且AB=AC=5,A′B′=A′C′=3,若∠B+∠B′=90°,则△ABC与△A′B′C′的面积比为( )
A.25:9B.5:3C.:D.5:3
8.如图,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数y=在第一象限的图象经过点B,则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC?S△BAD为( )
A.36B.12C.6D.3
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内)
9.春节期间,在网络上用“百度”搜索引擎搜索“开放二孩”,能搜索到与之相关的结果个数约为45100000,这个数用科学记数法表示为 .
10.如图,将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放,两个三角板的一直角边重合,含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合,含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则∠1的度数是 .
11.某校九年级(1)班40名同学中,14岁的有1人,15岁的有21人,16岁的有16人,17岁的有2人,则这个班同学年龄的中位数是 岁.
12.已知m是关于x的方程x2?2x?3=0的一个根,则2m2?4m= .
13.如图,在正方形ABCD外作等腰直角△CDE,DE=CE,连接BE,则tan∠EBC= .
14.如图,一段抛物线:y=?x(x?2)(0≤x≤2)记为C1,它与x轴交于两点O,A1;将C1绕A1旋转180°得到C2,交x轴于A2;将C2绕A2旋转180°得到C3,交x轴于A3;…如此进行下去,直至得到C6,若点P(11,m)在第6段抛物线C6上,则m= .
三、解答题(本题共78分,把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内)
15.计算:2?2?2cos60°+|?|+(π?3.14)0.
16.已知4x=3y,求代数式(x?2y)2?(x?y)(x+y)?2y2的值.
17.南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向20(1+)海里的C处,为了防止某国还巡警干扰,就请求我A处的鱼监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之间的距离.
18.列方程或方程组解应用题:
为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议,某校文印室提出了每个人都践行“双面打印,节约用纸”.已知打印一份资料,如果用A4厚型纸单面打印,总质量为400克,将其全部改成双面打印,用纸将减少一半;如果用A4薄型纸双面打印,这份资料的总质量为160克,已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克,求A4薄型纸每页的质量.(墨的质量忽略不计)
19.如图,点O是△ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.
20.如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y=与直线y=?2x+2交于点A(?1,a).
(1)求a,m的值;
(2)求该双曲线与直线y=?2x+2另一个交点B的坐标.
21.如图,直角△ABC内接于⊙O,点D是直角△ABC斜边AB上的一点,过点D作AB的垂线交AC于E,过点C作∠ECP=∠AED,CP交DE的延长线于点P,连结PO交⊙O于点F.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若PC=3,PF=1,求AB的长.
22.锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目,答对最后两道单选题就顺利通关,第一道单选题有3个选项,第二道单选题有4个选项,这两道题锐锐都不会,不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项).
(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用,那么锐锐通关的概率是 .
(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用,那么锐锐通关的概率是 .
(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”,请用树状图或者列表来分析他顺序通关的概率.
23.如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
(1)如图1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证:AD=BE;
②求∠AEB的度数.
(2)如图2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM为△DCE中DE边上的高,BN为△ABE中AE边上的高,试证明:AE=2CM+BN.
24.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过B(?2,6),C(2,2)两点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)记抛物线顶点为D,求△BCD的面积;
(3)若直线y=?x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,求b的取值范围.
山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项A、B、C、D中,只有一个选项是正确的,请把正确的选项涂在答题卡相应位置)
1.下列各对数是互为倒数的是( )
A.4和?4B.?3和C.?2和D.0和0
【考点】倒数.
【分析】根据倒数的定义可知,乘积是1的两个数互为倒数,据此求解即可.
【解答】解:A、4×(?4)≠1,选项错误;
B、?3×≠1,选项错误;
C、?2×(?)=1,选项正确;
D、0×0≠1,选项错误.
故选C.
【点评】主要考查了倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.要求掌握并熟练运用.
2.以下微信图标不是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念求解,看图形是不是关于直线对称.
【解答】解:A、是轴对称图形;
B、是轴对称图形;
C、是轴对称图形;
D、不是轴对称图形.
故选D.
【点评】本题主要考查了轴对称的概念,轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合.
3.如图所示,该几何体的俯视图是( )
A.B.C.D.
【考点】简单组合体的三视图.
【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行解答即可.
【解答】解:从上往下看,可以看到选项C所示的图形.
故选:C.
【点评】本题考查了三视图的知识,掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键.
4.当1<a<2时,代数式|a?2|+|1?a|的值是( )
A.?1B.1C.3D.?3
【考点】代数式求值;绝对值.
【专题】计算题.
【分析】根据a的取值范围,先去绝对值符号,再计算求值.
【解答】解:当1<a<2时,
|a?2|+|1?a|=2?a+a?1=1.
故选:B.
【点评】此题考查的知识点是代数式求值及绝对值,关键是根据a的取值,先去绝对值符号.
5.如图,A,B的坐标为(2,0),(0,1),若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为( )
A.2B.3C.4D.5
【考点】坐标与图形变化-平移.
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可.
【解答】解:由B点平移前后的纵坐标分别为1、2,可得B点向上平移了1个单位,
由A点平移前后的横坐标分别是为2、3,可得A点向右平移了1个单位,
由此得线段AB的平移的过程是:向上平移1个单位,再向右平移1个单位,
所以点A、B均按此规律平移,
由此可得a=0+1=1,b=0+1=1,
故a+b=2.
故选:A.
【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律,在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.
6.在▱ABCD中,AB=3,BC=4,当▱ABCD的面积最大时,下列结论正确的有( )
①AC=5;②∠A+∠C=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
【考点】平行四边形的性质.
【分析】当▱ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形,得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AC=BD,根据勾股定理求出AC,即可得出结论.
【解答】解:根据题意得:当▱ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AC=BD,
∴AC==5,
①正确,②正确,④正确;③不正确;
故选:B.
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理;得出▱ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形是解决问题的关键.
7.如图,△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形,且AB=AC=5,A′B′=A′C′=3,若∠B+∠B′=90°,则△ABC与△A′B′C′的面积比为( )
A.25:9B.5:3C.:D.5:3
【考点】互余两角三角函数的关系.
【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C,∠B′=∠C′,根据三角函数的定义得到AD=AB•sinB,A′D′=A′B′•sinB′,BC=2BD=2AB•cosB,B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′,然后根据三角形面积公式即可得到结论.
【解答】解:过A作AD⊥BC于D,过A′作A′D′⊥B′C′于D′,
∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形,
∴∠B=∠C,∠B′=∠C′,BC=2BD,B′C′=2B′D′,
∴AD=AB•sinB,A′D′=A′B′•sinB′,BC=2BD=2AB•cosB,B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′,
∵∠B+∠B′=90°,
∴sinB=cosB′,sinB′=cosB,
∵S△BAC=AD•BC=AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB,
S△A′B′C′=A′D′•B′C′=A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′,
∴S△BAC:S△A′B′C′=25:9.
故选A.
【点评】本题考查了互余两角的关系,解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式.
8.如图,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数y=在第一象限的图象经过点B,则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC?S△BAD为( )
A.36B.12C.6D.3
【考点】反比例函数系数k的几何意义;等腰直角三角形.
【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b,结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标,根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论.
【解答】解:设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b,
则点B的坐标为(a+b,a?b).
∵点B在反比例函数y=的第一象限图象上,
∴(a+b)×(a?b)=a2?b2=6.
∴S△OAC?S△BAD=a2?b2=(a2?b2)=×6=3.
故选D.
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式,解题的关键是找出a2?b2的值.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,设出等腰直角三角形的直角边,用其表示出反比例函数上点的坐标是关键.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内)
9.春节期间,在网络上用“百度”搜索引擎搜索“开放二孩”,能搜索到与之相关的结果个数约为45100000,这个数用科学记数法表示为 4.51×107 .
【考点】科学记数法?表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于45100000有8位,所以可以确定n=8?1=7.
【解答】解:45100000这个数用科学记数法表示为4.51×107.
故答案为:4.51×107.
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键.
10.如图,将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放,两个三角板的一直角边重合,含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合,含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则∠1的度数是 15° .
【考点】平行线的性质.
【专题】计算题.
【分析】过A点作AB∥a,利用平行线的性质得AB∥b,所以∠1=∠2,∠3=∠4=30°,加上∠2+∠3=45°,易得∠1=15°.
【解答】解:如图,过A点作AB∥a,
∴∠1=∠2,
∵a∥b,
∴AB∥b,
∴∠3=∠4=30°,
而∠2+∠3=45°,
∴∠2=15°,
∴∠1=15°.
故答案为15°.
【点评】本题考查了平行线的性质:两直线平行,内错角相等.
11.某校九年级(1)班40名同学中,14岁的有1人,15岁的有21人,16岁的有16人,17岁的有2人,则这个班同学年龄的中位数是 15 岁.
【考点】中位数.
【分析】根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数,即可得出答案.
【解答】解:∵该班有40名同学,
∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数,
∵15岁的有21人,
∴这个班同学年龄的中位数是15岁;
故答案为:15.
【点评】此题考查了中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),熟练掌握中位数的定义是本题的关键.
12.已知m是关于x的方程x2?2x?3=0的一个根,则2m2?4m= 6 .
【考点】一元二次方程的解.
【专题】推理填空题.
【分析】根据m是关于x的方程x2?2x?3=0的一个根,通过变形可以得到2m2?4m值,本题得以解决.
【解答】解:∵m是关于x的方程x2?2x?3=0的一个根,
∴m2?2m?3=0,
∴m2?2m=3,
∴2m2?4m=6,
故答案为:6.
【点评】本题考查一元二次方程的解,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
13.如图,在正方形ABCD外作等腰直角△CDE,DE=CE,连接BE,则tan∠EBC= .
【考点】正方形的性质;等腰直角三角形;解直角三角形.
【专题】计算题.
【分析】作EF⊥BC于F,如图,设DE=CE=a,根据等腰直角三角形的性质得CD=CE=a,∠DCE=45°,再利用正方形的性质得CB=CD=a,∠BCD=90°,接着判断△CEF为等腰直角三角形得到CF=EF=CE=a,然后在Rt△BEF中根据正切的定义求解.
【解答】解:作EF⊥BC于F,如图,设DE=CE=a,
∵△CDE为等腰直角三角形,
∴CD=CE=a,∠DCE=45°,
∵四边形ABCD为正方形,
∴CB=CD=a,∠BCD=90°,
∴∠ECF=45°,
∴△CEF为等腰直角三角形,
∴CF=EF=CE=a,
在Rt△BEF中,tan∠EBF===,
即∠EBC=.
故答案为.
【点评】本题考查了正方形的性质:正方形的四条边都相等,四个角都是直角;正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.也考查了等腰直角三角形的性质.
14.如图,一段抛物线:y=?x(x?2)(0≤x≤2)记为C1,它与x轴交于两点O,A1;将C1绕A1旋转180°得到C2,交x轴于A2;将C2绕A2旋转180°得到C3,交x轴于A3;…如此进行下去,直至得到C6,若点P(11,m)在第6段抛物线C6上,则m= ?1 .
【考点】二次函数图象与几何变换;抛物线与x轴的交点.
【专题】规律型.
【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点,由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等,且OA1=A1A2,照此类推可以推导知道点P(11,m)为抛物线C6的顶点,从而得到结果.
【解答】解:∵y=?x(x?2)(0≤x≤2),
∴配方可得y=?(x?1)2+1(0≤x≤2),
∴顶点坐标为(1,1),
∴A1坐标为(2,0)
∵C2由C1旋转得到,
∴OA1=A1A2,即C2顶点坐标为(3,?1),A2(4,0);
照此类推可得,C3顶点坐标为(5,1),A3(6,0);
C4顶点坐标为(7,?1),A4(8,0);
C5顶点坐标为(9,1),A5(10,0);
C6顶点坐标为(11,?1),A6(12,0);
∴m=?1.
故答案为:?1.
【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质,解题的关键是求出抛物线的顶点坐标.
三、解答题(本题共78分,把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内)
15.计算:2?2?2cos60°+|?|+(π?3.14)0.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【专题】计算题;实数.
【分析】原式利用负整数指数幂法则,特殊角的三角函数值,绝对值的代数意义,以及零指数幂法则计算即可得到结果.
【解答】解:原式=?2×+2+1
=+2.
【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
16.已知4x=3y,求代数式(x?2y)2?(x?y)(x+y)?2y2的值.
【考点】整式的混合运算?化简求值.
【分析】首先利用平方差公式和完全平方公式计算,进一步合并,最后代入求得答案即可.
【解答】解:(x?2y)2?(x?y)(x+y)?2y2
=x2?4xy+4y2?(x2?y2)?2y2
=?4xy+3y2
=?y(4x?3y).
∵4x=3y,
∴原式=0.
【点评】此题考查整式的化简求值,注意先化简,再代入求得数值即可.
17.南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向20(1+)海里的C处,为了防止某国还巡警干扰,就请求我A处的鱼监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之间的距离.
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】作AD⊥BC,垂足为D,设CD=x,利用解直角三角形的知识,可得出AD,继而可得出BD,结合题意BC=CD+BD可得出方程,解出x的值后即可得出答案.
【解答】解:如图,作AD⊥BC,垂足为D,
由题意得,∠ACD=45°,∠ABD=30°.
设CD=x,在Rt△ACD中,可得AD=x,
在Rt△ABD中,可得BD=x,
又∵BC=20(1+),CD+BD=BC,
即x+x=20(1+),
解得:x=20,
∴AC=x=20(海里).
答:A、C之间的距离为20海里.
【点评】此题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据题意构造直角三角形,将实际问题转化为数学模型进行求解,难度一般.
18.列方程或方程组解应用题:
为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议,某校文印室提出了每个人都践行“双面打印,节约用纸”.已知打印一份资料,如果用A4厚型纸单面打印,总质量为400克,将其全部改成双面打印,用纸将减少一半;如果用A4薄型纸双面打印,这份资料的总质量为160克,已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克,求A4薄型纸每页的质量.(墨的质量忽略不计)
【考点】分式方程的应用.
【分析】设A4薄型纸每页的质量为x克,则A4厚型纸每页的质量为(x+0.8)克,然后根据“双面打印,用纸将减少一半”列方程,然后解方程即可.
【解答】解:设A4薄型纸每页的质量为x克,则A4厚型纸每页的质量为(x+0.8)克,
根据题意,得:=2×,
解得:x=3.2,
经检验:x=3.2是原分式方程的解,且符合题意,
答:A4薄型纸每页的质量为3.2克.
【点评】本题主要考查分式方程的应用,根据题意准确找到相等关系并据此列出方程是解题的关键.
19.如图,点O是△ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.
【考点】平行四边形的判定与性质.
【分析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC,DG∥BC且DG=BC,从而得到DE=EF,DG∥EF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;
(2)先判断出∠BOC=90°,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,求出EF即可.
【解答】解:(1)∵D、G分别是AB、AC的中点,
∴DG∥BC,DG=BC,
∵E、F分别是OB、OC的中点,
∴EF∥BC,EF=BC,
∴DE=EF,DG∥EF,
∴四边形DEFG是平行四边形;
(2)∵∠OBC和∠OCB互余,
∴∠OBC+∠OCB=90°,
∴∠BOC=90°,
∵M为EF的中点,OM=3,
∴EF=2OM=6.
由(1)有四边形DEFG是平行四边形,
∴DG=EF=6.
【点评】此题是平行四边形的判定与性质题,主要考查了平行四边形的判定和性质,三角形的中位线,直角三角形的性质,解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形.
20.如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y=与直线y=?2x+2交于点A(?1,a).
(1)求a,m的值;
(2)求该双曲线与直线y=?2x+2另一个交点B的坐标.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)将A坐标代入一次函数解析式中即可求得a的值,将A(?1,4)坐标代入反比例解析式中即可求得m的值;
(2)解方程组,即可解答.
【解答】解:(1)∵点A的坐标是(?1,a),在直线y=?2x+2上,
∴a=?2×(?1)+2=4,
∴点A的坐标是(?1,4),代入反比例函数y=,
∴m=?4.
(2)解方程组
解得:或,
∴该双曲线与直线y=?2x+2另一个交点B的坐标为(2,?2).
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有:反比例函数的图象上点的坐标特征,待定系数法确定函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
21.如图,直角△ABC内接于⊙O,点D是直角△ABC斜边AB上的一点,过点D作AB的垂线交AC于E,过点C作∠ECP=∠AED,CP交DE的延长线于点P,连结PO交⊙O于点F.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若PC=3,PF=1,求AB的长.
【考点】切线的判定;切割线定理.
【分析】(1)连接OC,欲证明PC是⊙O的切线,只要证明PC⊥OC即可.
(2)延长PO交圆于G点,由切割线定理求出PG即可解决问题.
【解答】解:(1)如图,连接OC,
∵PD⊥AB,
∴∠ADE=90°,
∵∠ECP=∠AED,
又∵∠EAD=∠ACO,
∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°,
∴PC⊥OC,
∴PC是⊙O切线.
(2)延长PO交圆于G点,
∵PF×PG=PC2,PC=3,PF=1,
∴PG=9,
∴FG=9?1=8,
∴AB=FG=8.
【点评】本题考查切线的判定、切割线定理、等角的余角相等等知识,解题的关键是熟练运用这些知识解决问题,学会添加常用辅助线,属于中考常考题型.
22.锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目,答对最后两道单选题就顺利通关,第一道单选题有3个选项,第二道单选题有4个选项,这两道题锐锐都不会,不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项).
(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用,那么锐锐通关的概率是 .
(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用,那么锐锐通关的概率是 .
(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”,请用树状图或者列表来分析他顺序通关的概率.
【考点】列表法与树状图法.
【专题】应用题.
【分析】(1)锐锐两次“求助”都在第一道题中使用,第一道肯定能对,第二道对的概率为,即可得出结果;
(2)由题意得出第一道题对的概率为,第二道题对的概率为,即可得出结果;
(3)用树状图得出共有6种等可能的结果,锐锐顺利通关的只有1种情况,即可得出结果.
【解答】解:(1)第一道肯定能对,第二道对的概率为,
所以锐锐通关的概率为;
故答案为:;
(2)锐锐两次“求助”都在第二道题中使用,
则第一道题对的概率为,第二道题对的概率为,
所以锐锐能通关的概率为×=;
故答案为:;
(3)锐锐将每道题各用一次“求助”,分别用A,B表示剩下的第一道单选题的2个选项,a,b,c表示剩下的第二道单选题的3个选项,
树状图如图所示:
共有6种等可能的结果,锐锐顺利通关的只有1种情况,
∴锐锐顺利通关的概率为:.
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
23.如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
(1)如图1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证:AD=BE;
②求∠AEB的度数.
(2)如图2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM为△DCE中DE边上的高,BN为△ABE中AE边上的高,试证明:AE=2CM+BN.
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】(1)①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE,再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC,DC=EC”,利用全等三角形的判定(SAS)即可证出△ACD≌△BCE,由此即可得出结论AD=BE;
②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC,再通过角的计算即可算出∠AEB的度数;
(2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数,即可得出底角的度数,利用(1)的结论,通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度,二者相加即可证出结论.
【解答】(1)①证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,
∴∠ACB=∠DCE=180°?2×50°=80°.
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE.
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形,
∴AC=BC,DC=EC.
在△ACD和△BCE中,有,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
②解:∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC.
∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°,
∴∠ADC=180°?∠CDE=130°,
∴∠BEC=130°.
∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,
∴∠AEB=∠BEC?∠CED=130°?50°=80°.
(2)证明:∵△ACB和△DCE均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=120°,
∴∠CDM=∠CEM=×(180°?120°)=30°.
∵CM⊥DE,
∴∠CMD=90°,DM=EM.
在Rt△CMD中,∠CMD=90°,∠CDM=30°,
∴DE=2DM=2×=2CM.
∵∠BEC=∠ADC=180°?30°=150°,∠BEC=∠CEM+∠AEB,
∴∠AEB=∠BEC?∠CEM=150°?30°=120°,
∴∠BEN=180°?120°=60°.
在Rt△BNE中,∠BNE=90°,∠BEN=60°,
∴BE==BN.
∵AD=BE,AE=AD+DE,
∴AE=BE+DE=BN+2CM.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算,解题的关键是:(1)通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE;(2)找出线段AD、DE的长.本题属于中档题,难度不大,但稍显繁琐,解决该题型题目时,利用角的计算找出相等的角,再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角,最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键.
24.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过B(?2,6),C(2,2)两点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)记抛物线顶点为D,求△BCD的面积;
(3)若直线y=?x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,求b的取值范围.
【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质.
【分析】(1)根据待定系数法即可解决问题.
(2)求出直线BC与对称轴的交点H,根据S△BDC=S△BDH+S△DHC即可解决问题.
(3)由,当方程组只有一组解时求出b的值,当直线y=?x+b经过点C时,求出b的值,当直线y=?x+b经过点B时,求出b的值,由此即可解决问题.
【解答】解:(1)由题意解得,
∴抛物线解析式为y=x2?x+2.
(2)∵y=x2?x+2=(x?1)2+.
∴顶点坐标(1,),
∵直线BC为y=?x+4,∴对称轴与BC的交点H(1,3),
∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3.
(3)由消去y得到x2?x+4?2b=0,
当△=0时,直线与抛物线相切,1?4(4?2b)=0,
∴b=,
当直线y=?x+b经过点C时,b=3,
当直线y=?x+b经过点B时,b=5,
∵直线y=?x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,
∴<b≤3.
【点评】本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识,解题的关键是求出对称轴与直线BC交点H坐标,学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题,属于中考常考题型.
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